Stohastično ojačanje in signalizacija v substratnih ciklih preko s šumom induciranih bistabilnosti z oscilacijami

Izhodiščni članek: Stochastic amplification and signaling in enzymatic futile cycles through noise-induced bistability with oscillations. Michael Samoilov, Sergey Plyasunov, and Adam P. Arkin, PNAS February 15, 2005 102 (7) 2310-2315”

Uvod

Na celico pogosto gledamo kot na visoko urejen, reguliran sistem z robustno fiziologijo. Te makroskopske lastnosti, kakopak, določajo njene molekularne komponente (proteini, DNA, RNA ter ostale molekule v celici) in njihovo medsebojno delovanje oziroma interakcije. Ti molekularni procesi so v svoji naravi stohastični. Naključnost molekularnih procesov izvira predvsem iz difuzije delcev v tekočini (posledica naključnega trkanja z delci v raztopini - Brownovo gibanje [1]) in termičnih fluktuacijah, ki vplivajo na nenapovedljivo distribucijo delcev ob danem času.

Iz statistično-mehanske obravnave fluktuacij (kolebanj) vemo, da je njihova velikost obratno sorazmerna kvadratnemu korenu števila delcev v opazovanem sistemu. Povedano drugače, če je število delcev v opazovanem sistemu veliko (reda velikosti N_A) so fluktuacije (odmiki, kolebanja od povprečja) neke opazovane lastnosti sistema majhne, često zanemarljive - pravimo, da lahko takšen sistem obravnavamo v t.i. termodinamski (makroskopski) limiti (velja ekvivalenca statistično-mehanskih ansamblov). [T. L. Hill An Introduction to Statistical Thermodynamics] Pomemben dodaten pogoj za veljavnost limite je tudi ta, da se opazovani sistem nahaja v ravnotežju in je homogen.

Nazaj k biologiji. V bioloških sistemih, so posamezne molekule navadno zastopane v majhnem številu. Za celico E. coli je bila ocenjena mediana števila zastopanosti posamezega proteina in ta znaša okoli 500 (Ishihama Y, Schmidt T, Rappsilber J, Mann M, Hartl F, Kerner M, Frishman D. Bmc Genomics. 2008;9(1):102.). Često lahko opazimo da so biokemijske reakcije v živih sistemih pomaknjene daleč stran od ravnotežja. Navedeni dejstvi onemogočata obravnavo sistema v termodinamski limiti in hkrati kažeta na obstoj nezanemarljivih fluktuacij v sistemu, ki imajo lahko signifikaten vpliv na končni rezultat (odziv) opazovanega procesa. Ker so fluktuacije v tako razredčenem sistemu znatne, deterministični opis sistema ni ustrezen.

Vloga šuma v bioloških procesih

Vloga šuma oziroma stohastičnih procesov se je izkazala kot pomemben dejavnik v številnih bioloških procesih od genske ekspresije, signalizacije, uravnave celičnega cikla. (obsežnejši pregled v viru 2, 3 in v viru 1 v SI) Sprva so bila opažanja kvalitativne narave, z vstopom fizikov, matematikov na področje biologije in rojstvom kvantitativne biologije, se je pozornost usmerila v modeliranje in natančnejšo karakterizacijo pojavov. Nekaj primerov dogodkov poleg termičnih fluktuacij in difuzije delcev, ki predstavljajo vir šuma, predstavljajo še denimo spontana odprtja ionskih kanalčkov, radiacijske poškodbe DNA, fluktuacije pH,...

Članek - Stochastic amplification and signaling in enzymatic futile cycles through noise-induced bistability with oscillations

Substratni cikli oziroma splošneje ciklične encimske kaskade predstavljajo zelo pogost signalni in kontrolni mehanizem bioloških molekularnih omrežji. Za modeliranje takšnih sistemov ponavadi ne zadostuje enostaven opis v skladu z Michaelis-Mentenino (MM) kinteiko (ne uspe razložiti kompleksnih obnašanj omrežji kot so denimo oscilacije). Za boljši opis odzivov (signal v odvisnosti od nekega primarnega sporočevalca) omrežja se v modele pogosto vpeljuje pozitivne in negativne povratne zanke, ki so večkrat tudi biološko (eksperimentalno) utemeljene. (Curr Opin Cell Biol. 2003 Apr;15(2):221-31. Sniffers, buzzers, toggles and blinkers: dynamics of regulatory and signaling pathways in the cell. Tyson JJ, Chen KC, Novak B.)

Drugi način obravnave takšnih omrežij, ki je bil predmet in noviteta članka, pa je vpeljava nedeterministične (stohastične) komponente oz. šuma na eno izmed komponent omrežja. Izkazalo se je, da tudi nedeterministični opis lahko razloži kompleksne odzive omrežja kot so oscilacije in multiple stabilnosti, ponuja pa še nekaj dodatnih, edinstvenih lastnosti, ki jih bi lahko morda, kot špekulirajo raziskovalci, biološki sistemi izkoriščali v svoj prid.

Opis stohastičnega modeliranja v članku in analize izraženih lastnosti

Obravnavan sistem (in silico) je v članku predtavljal enostaven substratni cikel, ki ga sestavljata dva encima (reakcija naprej in nazaj) in dva produkta (X in X*). (Fig.1:[2])

Ta cikel, ki je podvržen zunanjemu šumu (variranje koncentracije encima) v koncentraciji encima, ki katalizira reakcijo pretvorbe X --> X*, so raziskovalci opisali na dva načina:

1. Sistem so tako najprej opisali s formalizmom MM kinetike (hitrostni zakoni za posamezne komponente v obliki diferencialnih enačb), ki so mu dodali stohastično komponento šuma. Takšen sistem opisuje t.i. Langevin-ova enačba [3] (stohastična diferencialna enačba). Langevin-ovo enačbo je moč reštit analitično (s pretvorbo v Fokker-Planckovo enačbo). Iz rešitve enačbe so nato raziskovalci izrazili izraz za stacionarno krivuljo (diferenciali vseh komponent po času enaki 0), ki so jo nato primerjali s tisto pridobljeno z determinističnim MM opisom.
2. Prvi opis je približen (sistem obravnavan v MM limiti), natančnejši opis je možen s t.i. master enačbami ([4]), ki so pa matematično (analitično) zahtevnejše. Numerično je enačbe rešiti s pomočjo Gillespie algoritma [5]. Pri takšnem reševanju se model simulira (izpeljanka metode Monte Carlo). Vsaka simulacija nam pridela eno trajektorijo sistema. Z večkratno simulacijo (več trajektorij) sistema lahko dosežemo poljubno natančen opis dinamike sistema in njegovih lastnosti.

Raziskovalci so se odločili, da bodo sistem rešili analitično (1. način), nato te rešitve primerjali z rešitvami za deterministični opis, ter na koncu napovedi analitičnega stohastičnega opisa preverili še z numeričnimi rešitvami 2. načina.

Klasična deterministična obravnava v skaladu z MM opisom nam da poznani rezultat sigmoidne krivulje. (Fig.6:[6]). Takšen sistem nas spominja na stikalo, saj v relativno ozkem območju spremembe vhodnega signala (koncentracija E) izhodni signal (produkt X* oz. X) preide iz minimalne na maksimalno vrednost (ang. zero-order ultrasensitivity). Takšna molekularna stikala so bila tekom evolucije najbrž izbrana zaradi močne ojačitve signala, ki tako omogoča učinkovit prenos informacije, kar pride še posebej do izraza pri nizkih koncentracijah primarnih sporočevalcev kot jih navadno tudi srečamo v sami celici.

Determinstični opis so raziskovalci enostavno razširili na stohastičnega z dodatkom člena za šum v koncentraciji encima, ki katalizira reakcijo X-->X*. (Enačba [2], glej članek) Rešitev za stacionarno krivuljo (izražena iz rešitve Fokker-Planckove enačbe) je zelo podobna deterministični, le da vsebuje še aditivni difuzivni (stohastični) člen. (Enačba [3] in deterministična enačba [1]) V limiti ničnega šuma sta enačbi za deterministični in nedeterministični model identični.

Analiza lastnosti nedeterministično opisanega sistema

Prva očitna lastnost funkcije, ki opisuje stacionarno stanje v nedeterminističnem modelu je ta da v njej nastopa singal (X oz. X* stacionarna) na četrto potenco. (Enačba [3]) Krivulja lahko tako za neke vrednosti koncentracije encima zasede več vrednosti signala, torej produkta X oz. X*. Navedena lastnost omogoča soobstoj večih stabilnih stacionarnih stanj, ki podpirajo obstoj oscilacij v sistemu (ni pa to zadostni pogoj!). Z numeričnimi simulacijami so kasneje raziskovalci potrdili tudi obstoj prehodov med multipli stacionarnimi stanji, torej oscilacije. (Fig.3: [7] in Fig.4: [8])

Raziskovalci so na podlagi izpeljanih izrazov preučili lastnosti opisanega sistema. Zanimiva lastnost, ki se izrazi pri stohastičnem modelu je možnost ojačitve signala. Kot omenjeno je stohastični člen namreč prisoten tudi pri izrazu za določitev stacionarne krivulje in tako vpliva tudi na amplitudo odziva. Za primer obravnave enostavnega substratnega cikla, ki so ga obravnavali v članku, je bil signal vedno večji od tistega pri deterministični obravnavi. (Fig.2: [9]; formalen dokaz dostopen v dodatnem gradivu članka pod "Stohastic Amplification" [10])

Iz nadaljnje analize so raziskovalci še ugotovili, da je pri stohastičnem opisu signifikanten signal mogoče opaziti v območju, ki pri determinističnem opisu ustreza območju, kjer še ni zaznati signala. Slednji pojav so raziskovalci poimenovali kot - stohastično signaliziranje (sklic na sliko). Signal se je tako pojavil že pred sigmoidnim prehodom, kjer ta doseže maksimalno vrednost. Ta lastnost se zdi še posebaj zanimiva, saj odpira povsem nov, edinstven informacijski kanal preko katerega bi denimo sistem sporočal koliko manjka še do nasičenja (sigmoidni prehod).

Poleg ojačitve signala (ang. signal gain - sposojenka iz elektrotehničnih, telekomunikacijskih znanosti) in prehodi med večimi možnimi stacionarnimi stanji (multistabilnost -> oscilacije) stohastični opis ponudi še druge zanimive lastnosti, ki jih klasična deterministična obravnava ne pozna.

Omenimo za konec še eno. Frekvenca prehodov med stacionarnimi stanji signala (oscilacije) je občutljiva na obliko šuma oz. njegovo časovno distribucijo. (Enačba [5]) Slednje ugotovitev je še posebej zanimiva, saj vemo da je v bioloških sistemih precej različnih izvorov šuma. Nekateri šumi so najbrž pomembnejši od drugih, zato se zdi smiselno da se nek biološki sistem nanje odzove različno. Šum lahko seveda izvira iz drugih signalizacijskih poti, omrežji in tako lahko uravna nadaljnji odziv. Sam po sebi šum nosi dodatne informacije, ki jih lahko nato prejemnik (omrežje - npr. encimski cikel) sprocesira in se nanje primerno odzove. Morda tudi preko ustvarjanje in uravnave lastnega šuma.

Obstoj vseh lastnosti so raziskovalci v zadnjem delu potrdili z numeričnim izračuni (simulacije) master enačb (postavljene na predpostavljenem mehanizmu, ki ga opisujejeta enačbi [7] in [8]) za sistem s pomočjo Gillipsiejevega algoritma.

Zaključek

Predstavljena analiza je pokazala, da lahko že v zelo preprostih sistemih kot je denimo enostavni substratni cikel, opazimo kvalitatvne in kvantitivne razlike v obnašanju glede na opis z determinističnim modelom. Ena izmed zanimivejših ugotovitev je prav gotovo, da sistem (biološko omrežje) ne deluje le kot prevodnik in posredovalec informacije v neki kaskadi, ampak je lahko njegovo vloga precej širša. Glede na rezultate, ki so jih pridelali raziskovalci, lahko ugibamo da ima šum pomembno vlogo tudi v signalizaicji in tako morda nudi fino regulacijo odziva in komunikacijo med posameznimi molekularnimi omrežji v celici. Vpeljava zunanjega izvora šuma tako odpira zanimive, nove informacijske kanali, ki jih morda biološki sistemi v omrežjih že izkoriščajo. Opozoriti je treba, da je predstavljena študija izrazito teoretske narave. Kot tudi avtorji članka na koncu opozarjajo, bo takšne špekulacije, ki sicer bazirajo na robustni teoriji, precej težko dokazati in vitro, kaj šele v živih sistemih. Poudariti je tudi treba, da je sistem obravnavan v članku je izjemno enostaven. Stohastični dejavnik je bil pripisan zgolj koncentraciji enega encima v kaskadi. Realni biološki sistemi so precej bolj komplicirani, poleg predstavljenih možnih stohastičnih dejavnikov pa ne smemo izključiti tudi vse "deterministične" (npr. pozitivna ali negativna povratna regulacija).

Viri

Nadobudnega bralca bi najprej napotil k ogledu in prisluhu odličnih predavanj prof. Jeff Gore-a z MIT, ki so prosto dostopna na [11] v sklopu predmeta Sistemska biologija [12] kot se je predavala jeseni 2014.

[1] Stochastic amplification and signaling in enzymatic futile cycles through noise-induced bistability with oscillations Michael Samoilov, Sergey Plyasunov, Adam P. Arkin Proceedings of the National Academy of Sciences Feb 2005, 102 (7) 2310-2315; DOI: 10.1073/pnas.0406841102

[2] Tsimring, Lev S. “Noise in biology” Reports on progress in physics. Physical Society (Great Britain) vol. 77,2 (2014): 026601.

[3] Rao, Christopher V.,Wolf, Denise M.,Arkin, Adam P.,Control, exploitation and tolerance of intracellular noise. Nature (420),231;https://doi.org/10.1038/nature01258

[4] Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences (Springer Series in Synergetics); Crispin Gardiner, 3rd Edition